Question

已知向量

a

=（sin（ωx+φ），2），

b

=（1，cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜φ＜

π

4

）．函数f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

），y=f（x）的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M（1，

7

2

）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出ω的值，再把点M（1，

7

2

）代入化简后，结合φ的范围求出φ；
（2）根据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再根据周期性求出式子的值．

解答： 解：（1）由题意得，f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2
=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ）+3，
因为函数的周期T=

2π

2ω

=2×2，所以ω=

π

4

，
又图象过点M（1，

7

2

），所以

7

2

=3-cos(

π

2

×1+2φ)，即sin2φ=

1

2

，
由0＜φ＜

π

4

，得2φ=

π

6

，φ=

π

12

，
所以f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)．                                …5’
（2）因为y=f（x）的周期T=4，
且f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=(3-

3

2

)+(3+

1

2

)+(3+

3

2

)+(3-

1

2

)=12，
所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）=503×12+f（0）+f（1）+f（3）=6045

1

2

．     …10’

点评：本题考查了向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式，以及三角函数周期性的应用，熟练掌握公式是解题的关键．