Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

m

=（a，b），

n

=（sinB，-cosA），且

m

•

n

=0．
（1）求内角A的大小；
（2）若a=10，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（a，b），

n

=（sinB，-cosA），且

m

•

n

=0，
∴asinB-bcosA=0，
∴由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

4

；
（2）∵a=10，cosA=

2

2

，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=10²，即b²+c²-

2

bc=100，
∵b²+c²≥2bc，
∴100+

2

bc≥2bc，
∴100≥（2-

2

）bc，即bc≤

100

2- 2

，
∵S=

1

2

bcsinA=

2

4

bc≤

2

4

×

100

2- 2

=25（

2

+1），
∴当且仅当b=c时，△ABC面积有最大值，最大值为25（

2

+1）．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．