Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k≠0）分别交双曲线y=

m

x

(m≠0)于A、B两点，交x轴于点D，在x轴上有一点C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC=

4

5

，B（-3，n）．
（1）求该双曲线y=

m

x

与直线AB的解析式；
（2）连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于倾斜角∠ADC为锐角，已知sin∠ADC=

4

5

，利用三角函数基本关系式可得斜率k．利用CD=4，C（3，0），可得D（-1，0），代入直线AB可得b．进而得到直线AB的方程．把B（-3，n）代入直线AB的方程可得n，可得B并代入双曲线y=

m

x

可得m即可．
（2）设A(x，

8

x

)（x＞0），利用两点间的距离公式和AD=5，可得x．再利用S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

|DC|•yA+

1

2

|DC|•(-yB)即可得出．

解答： 解：（1）∵sin∠ADC=

4

5

，又∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

3

5

，
∴tan∠ADC=

sin∠ADC

cos∠ADC

=

4

3

，
∴斜率k=

4

3

．
∴CD=4，C（3，0），∴D（-1，0），
代入直线AB：0=-k+b，∴b=k=

4

3

．
∴直线AB的方程为：y=

4

3

x+

4

3

．
把B（-3，n）代入上式可得：n=-3×

4

3

+

4

3

=-

8

3

．
∴B(-3，-

8

3

)．
把B的坐标代入双曲线y=

m

x

可得：m=-3×(-

8

3

)=8．
∴双曲线的方程为：y=

8

x

．
综上可得：该双曲线y=

8

x

，直线AB的解析式为y=

4

3

x+

4

3

．
（2）设A(x，

8

x

)（x＞0），
∵AD=5，∴

(x+1)2+( 8 x )2

=5，解得x=2．
∴A（2，4）．∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

|DC|•yA+

1

2

|DC|•(-yB)
=

1

2

×4×(4+

8

3

)=

40

3

．

点评：本题考查了三角函数的基本关系式、斜率与倾斜角的关系、直线与双曲线相交问题、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．