Question

已知函数f（x）=

x

lnx

-ax（x＞0且x≠1）
（1）若f（x）在定义域上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若有x₁、x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）在定义域上为减函数，f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围；
（2）命题“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等价于“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，求出f′（x）_max+a=

1

4

，故问题等价于：“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤

1

4

，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）在定义域上为减函数，
∴f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，
即当x∈（0，+∞）时，a≥

lnx-1

(lnx)2

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

即可，
∴a≥

1

4

；
（2）命题“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等价于
“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1）得，当x∈[e，e²]时，f′（x）_max=

1

4

-a，则f′（x）_max+a=

1

4

，
故问题等价于：“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤

1

4

．
当a≥

1

4

时，f（x）在[e，e²]上为减函数，则f（x）_min=f（e²）=

e2

2

-ae2≤

1

4

．
∴a≥

1

2

-

1

4e2

．
a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]恒成立，故f（x）在[e，e²]上为增函数，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞

1

4

，不合题意
0＜a＜

1

4

时，由f′（x）的单调性和值域知，存在唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0，且满足：
当x∈（e，x₀）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x₀，e²）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
∴f（x）_min=f（x₀），
∴a≥

1

lnx0

-

1

4x0

＞

1

lne

-

1

4e2

＞

1

4

，与0＜a＜

1

4

矛盾，
综上，a≥

1

2

-

1

4e2

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度大．