Question

如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形ONPQR，使点P在AB弧上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，R点在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大：求出裁剪出的五边形的面积．

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①设∠PON=θ，则ON=OPcosθ，PN=OPsinθ．可得矩形PMON的面积S=2cosθ•2sinθ=2sin2θ，可得当θ=45°时，此时矩形PMON的面积最大．
②如图所示，设∠QOE=α，（45°＜α＜90°）．作QE⊥OB，垂足为E，交MP于点F．QE=OQsinα=2sinα，OE=OQcosα=2cosα．可得直角梯形PQRM的面积S=

(QR+MP)×RM

2

=
=

1

2

(4sinαcosα+2

2

sinα-2

2

cosα-2)．令t=sinα-cosα，t∈（0，1）．可得S（t）=

1

2

(2-2t2+2

2

t-2)=-(t-

2

2

)2+

1

2

，即可得出最大值．

解答： 解：①设∠PON=θ，则ON=OPcosθ，PN=OPsinθ．
∴矩形PMON的面积S=2cosθ•2sinθ=2sin2θ≤2，当θ=45°时，此时矩形PMON的面积最大为2．
②如图所示，设∠QOE=α，（45°＜α＜90°）．
作QE⊥OB，垂足为E，交MP于点F．
QE=OQsinα=2sinα，OE=OQcosα=2cosα．
∴RM=QE-EF=2sinα-

2

．
∴直角梯形PQRM的面积S=

(QR+MP)×RM

2

=

(2cosα+ 2 )(2sinα- 2 )

2

=

1

2

(4sinαcosα+2

2

sinα-2

2

cosα-2)．
令t=sinα-cosα，t∈（0，1）．
则t²=1-2sinαcosα，可得sinαcosα=

1-t2

2

．
∴S（t）=

1

2

(2-2t2+2

2

t-2)=-(t-

2

2

)2+

1

2

，
∴当t=

2

2

时，S（t）取得最大值

1

2

，此时

2

2

=

2

sin(α-45°)，解得α=75°．
∴裁剪出的五边形的面积=2+

1

2

=

5

2

．

点评：本题考查了圆心角为90°的扇形铁皮AOB中裁剪出一块内接五边形ONPQR的面积最大值问题，考查了三角函数的变换及其单调性，考查了矩形与直角梯形面积的最大值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．