Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=

an

2kn- 1 2

，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的图象上，可解得S_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），再由通项与前n项和间的关系求得通项．
（2）用导数的几何意义，求得切线的斜率，再结合（1）求得b_n=

an

2kn- 1 2

=n•（

1

2

）ⁿ．符合等差数列与等比数列相应项积的形式，用错位相减法求解．

解答： 解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的图象上，
∴S_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n．
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n；
（2）由f（x）=

1

2

x²+

1

2

x求导可得f′（x）=x+

1

2

∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，
∴k_n=n+

1

2

．
∴b_n=

an

2kn- 1 2

=n•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=1×

1

2

+2×（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）ⁿ①
由①×

1

2

，得

1

2

T_n=1×（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴T_n=2-

1

2n-1

-n•（

1

2

）ⁿ．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题．