Question

f（x）=

2-x，x≤0 x2-6x+2，x＞0

，求f（3-x²）＜f（2x）的解集．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，根据图象可得函数的单调性，易知3-x²≤3，分情况讨论：解不等式即可；

解答： 解：作出函数f（x）的图象，如右图所示：二次函数的对称轴为x=3，
显然3-x²≤3，
①当2x≤3时，由图象知f（x）在（-∞，3]上递减，在[3，+∞）上递增，
由f（3-x²）＜f（2x）得3-x²＞2x，
从而可得不等式组

3-x2＞2x 2x≤3

，即

-3＜x＜1 x≤ 3 2

，解得-3＜x＜1，
②当2x＞3时，若3-x²≥0，由y=x²-6x+2的图象关于x=3对称，得f（3-x²）=f[6-（3-x²）]=f（3+x²），
则f（3-x²）＜f（2x），
即f（3+x²）＜f（2x），
由图象知f（x）在[3，+∞）上递增，有3+x²＜2x，
所以有不等式组

3+x2＜2x 2x＞3 3-x2≥0

，此时无解；
③当2x＞3时，若3-x²＜0，由f（3-x²）＜f（2x），
得2-（3-x²）＜（2x）²-6×2x+2，化简得x²-4x+1＞0，
从而可得不等式组

2x＞3 3-x2＜0 x2-4x+1＞0

，解得x＞2+

3

；
综上可得f（3-x²）＜f（2x）的解集为：（-3，1）∪（2+

3

，+∞）．

点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，考查不等式的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．