Question

已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）-x-2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x-2=0，可得a=

1-(x-2)lnx

x

，令h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）_max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）_max，即可求得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定义域（0，+∞），
∴f′（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x．
∴f′（1）=-3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y-4=0；

（Ⅱ）g（x）=f（x）-x-2=0，
则（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，即a=

1-(x-2)lnx

x

，
令h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，
则h′（x）=

1-x-2lnx

x2

，令t（x）=1-x-2lnx，则t′（x）=

-x-2

x

，
∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，
当a=1时，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）_max≤m，
∴g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0，得x=1或x=e-

3

2

，
又∵e^-2＜x＜e，
∴函数g（x）在（e^-2，e-

3

2

）上单调递增，在（e-

3

2

，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，
又g（e-

3

2

）=-

1

2

e^-3+2e-

3

2

，g（e）=2e²-3e，
∵g（e-

3

2

）=-

1

2

e^-3+2e-

3

2

＜2e-

3

2

＜2e＜2e（e-

3

2

）=g（e），
∴g（e-

3

2

）＜g（e），
∴m≥2e²-3e．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．