Question

已知c＞0且c≠1，设命题P：复数z=1+ci（i为虚数单位），|z|≤2；命题q：函数y=（2c-1）c^x在R上为减函数；命题r：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R．
（1）若p∧q为真命题，求c的范围；
（2）若q∨r为真，￢r为真，求c的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑,数系的扩充和复数

分析：（1）先根据复数模的求解公式，指数函数的单调性求出命题p，q下的c的取值范围，再根据p∧q为真命题得p真q真，所以求命题p，q下c的范围的交集即可；
（2）根据一元二次不等式的解和判别式的关系求出命题r下的c的范围，由q∨r为真，￢r为真得q真r假，所以求q真r假时c的取值范围的交集即可．

解答： 解：（1）命题p：|z|=

1+c2

≤2，∴0＜c≤

3

，且c≠1；
命题q：

2c-1＞0 0＜c＜1

，或

2c-1＜0 c＞1

，解得

1

2

＜c＜1；
若p∧q为真命题，则p真q真，∴

0＜c≤ 3 ，且c≠1 1 2 ＜c＜1

，∴

1

2

＜c＜1；
∴c的范围为(

1

2

，1)；
（2）命题r：将原不等式变成：x²+（1-4c）x+4c²-1＞0，该不等式的解集为R；
∴（1-4c）²-4（4c²-1）＜0，解得c＞

5

8

，且c≠1；
若q∨r为真，￢r为真，则q真r假，∴

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

，解得：

1

2

＜c≤

5

8

；
∴c的取值范围为(

1

2

，

5

8

]．

点评：考查复数模的计算公式，指数函数的单调性，p∧q，q∨r，￢r的真假和p，q，r真假的关系，一元二次不等式的解和判别式△的关系．