Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，-

10

）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求

MF1

•

MF2

．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程为x²-y²=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，-

10

），能求出双曲线方程．
（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=±

3

．由此能求出

MF1

•

MF2

的值．

解答： 解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，
∴设双曲线方程为x²-y²=λ，λ≠0，
∵双曲线过点（4，-

10

），
∴16-10=λ，即λ=6，
∴双曲线方程为

x2

6

-

y2

6

=1．
（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，
∴

9

6

-

m2

6

=1，
解得m=±

3

．
∴M（3，

3

），或M（3，-

3

），
∵F₁（-2

3

，0），F2(2

3

，0)，
∴当M（3，

3

）时，

MF1

=（-2

3

-3，-

3

），

MF2

=（2

3

-3，-

3

），

MF1

•

MF2

=9-8+3=4；
当M（3，-

3

）时，

MF1

=（-2

3

-3，

3

），

MF2

=（2

3

-3，

3

），

MF1

•

MF2

=9-8+3=4．
故

MF1

•

MF2

=4．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．