Question

已知函数y=

2x+a

x+1

（a≠2），判断该函数的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：先判断，再证明，证明分取值，作差，化简变形，判号，下结论五步．

解答： 解：当a＜2时，函数y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是增函数；
当a＞2时，函数y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是减函数．证明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
则y₁-y₂=

2x1+a

x1+1

-

2x2+a

x2+1

=

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
则当a＜2时，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
则函数y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是增函数；
当a＞2时，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，
则函数y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是减函数；
同理，当a＜2时，函数y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是增函数；
当a＞2时，函数y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是减函数．

点评：本题考查了函数单调性的证明，一般有两种方法，定义法，导数法．