Question

已知实数m＞1，定点A（-m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为

1

m2

．
（1）求动点S的轨迹C的方程；
（2）当m=

2

时，问k取何值时，直线y=kx-2与曲线C有且只有一个交点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设S（x，y），则k_SA=

y-0

x+m

，k_SB=

y-0

x-m

，由题意可得

x2

m2

-y2=1（y≠0）；
（2）轨迹C的方程为

x2

2

-y2=1，联立消y得（1-2k²）x²+8kx-10=0，则k=±

2

2

或k=±

10

2

．

解答： 解：（1）设S（x，y），则k_SA=

y-0

x+m

，k_SB=

y-0

x-m

，
则由题意可得，

y-0

x+m

×

y-0

x-m

=

1

m2

，
即

x2

m2

-y2=1（y≠0）；
（2）当m=

2

时，轨迹C的方程为

x2

2

-y2=1，
则

y=kx-2 x2 2 -y2=1

，消去y可得，
（1-2k²）x²+8kx-10=0，
若1-2k²=0，即k=±

2

2

时，成立；
若1-2k²≠0，则
△=64k²+4×10×（1-2k²）=0，
解得，k=±

10

2

，
综上所述，k=±

2

2

或k=±

10

2

时，直线y=kx-2与曲线C有且只有一个交点．

点评：本题考查了轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的交点个数的问题，属于中档题．