题目内容
已知点P在椭圆
+
=1上，求一点P，使它到两焦点的距离之积等于短半轴的平方，则P点坐标为 ．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出P到两焦点的距离，利用椭圆的第二定义，即可求出P点坐标．
解答：
解：设P到两焦点的距离分别为m，n，则m+n=10，
∵P到两焦点的距离之积等于短半轴的平方，
∴mn=16，
∴m=8，n=2．或者m=2，n=8，
椭圆的左准线：x=-
右准线：x=
，离心率e=
，
当m=8，n=2时，PF1=8，设P到准线的距离为d．因为
=e 所以d=
．
所以P点横坐标x=
-
=5，代入得P点纵坐标为4或-4，所以P（5，4）或（5，-4）
同理，当m=2，n=8时，P为（-5，4）或（-5，-4）．
所以P的坐标（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．
故答案为：（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．
∵P到两焦点的距离之积等于短半轴的平方，
∴mn=16，
∴m=8，n=2．或者m=2，n=8，
椭圆的左准线：x=-
| 25 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
当m=8，n=2时，PF1=8，设P到准线的距离为d．因为
| PF1 |
| d |
| 40 |
| 3 |
所以P点横坐标x=
| 40 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
同理，当m=2，n=8时，P为（-5，4）或（-5，-4）．
所以P的坐标（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．
故答案为：（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．
点评：本题考查椭圆的定义域性质，考查椭圆的第二定义，正确运用椭圆的第二定义是关键．
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