Question

求函数y=log_0.5（1-3^x）-log₂（3^x+

1

3

）的最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：由对数的运算性质进行化简，再由复合函数的单调性判断出最值，求出相应的x的值即可．

解答： 解：y=log_0.5（1-3^x）-log₂（3^x+

1

3

）=log_0.5（1-3^x）+log_0.5（3^x+

1

3

）=log_0.5（-3^2x+

2

3

×3^x+

1

3

）=log_0.5[-（3^x-

1

3

）²+

4

9

]．
当3^x-

1

3

=0时，即x=-1时，y_min=log_0.5

4

9

．
综上，x=-1时，y_min=log_0.5

4

9

．

点评：解答本题的关键是对解析式进行化简，熟练掌握复合函数的单调性的判断规则是此类题解答的理论基础．