Question

已知函数f（x）=|x(

a

3x2+a

-

1

x

-1)|在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分a=0、a＜0、a＞0三种情况讨论去掉绝对值的符号，再用导数研究函数的单调性．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=|-x-1|，
∵x∈（0，+∞），∴f（x）=x+1满足（0，+∞）上单调递增，
（2）当a＜0时，由3x²+a=0，解得x=

- a 3

，∴定义域内x≠

- a 3

，故定义域不再是（0，+∞），∴a＜0不适合题意；
（3）当a＞0时，
f（x）=|

ax

3x2+a

-x-1|=|

ax-x(3x2+a)-(3x2+a)

3x2+a

|=|

-3x3-3x2-a

3x2+a

|=|

3x3+3x2+a

3x2+a

|
∵x＞0，a＞0，∴3x³+3x²+a＞0、3x²+a＞0
∴f（x）=

3x3+3x2+a

3x2+a

=

3x3

3x2+a

+1，
∵f′（x）=

9x2(3x2+a)-3x3×6x

(3x2+a)2

=

9x2(x2+a)

(3x2+a)2

＞0
∴f（x满足（0，+∞）上单调递增，∴当a＞0时满足条件，
综上（1）（2）（3）知a≥0．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，当函数表达式中含有参量时，需要分类讨论，本题属于高档题．