Question

已知圆O的方程为x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线l的方程；
（2）直线m过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线m的方程；
（3）圆O上有一动点M（x₀，y₀），

ON

=(2x0，y0)，若向量

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出过点P（1，2）的直线方程，利用直线与圆O相切的推出关系式，即可求出直线方程；
（2）通过直线m与x轴垂直，与不垂直，两种情况，利用圆心距半径半弦长关系，即可求直线m的方程；
（3）设Q点的坐标为（x，y），圆O上有一动点M（x₀，y₀），通过

ON

=(2x0，y0)，以及

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，得到Q，M点的关系，通过M在圆上，即可求动点Q的轨迹方程，然后说明此轨迹是椭圆．

解答： 解　（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k（x-1），
则由

|2-k|

k2+1

=2，得k₁=0，k₂=-

4

3

，
从而所求的切线方程为y=2和4x+3y-10=0．
（2）当直线m垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，m与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和
（1，-

3

），这两点的距离为2

3

，满足题意；当直线m不垂直于x轴时，设其方程为
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，设圆心到此直线的距离为d（d＞0），
则2

3

=2

4-d2

，得d=1，从而1=

|-k+2|

k2+1

，得k=

3

4

，此时直线方程为3x-4y+5=0，综上所述，所求直线m的方程为3x-4y+5=0或x=1．
（3）设Q点的坐标为（x，y），M点坐标是（x₀，y₀），

ON

=（2x₀，y₀），
∵

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，
∴(x，y)=(2x0，2y0)+(x0，

1

2

y0)=(3x0，

5

2

y0)⇒x0=

1

3

x，y0=

2

5

y
．∵x₀²+y₀²=4，∴(

1

3

x)2+(

2

5

y)2=4，即

x2

36

+

y2

25

=1．
∴Q点的轨迹方程是

x2

36

+

y2

25

=1，轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．