Question

设函数f（x）=cosx+sinx，问是否存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立？证明你的结论．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用两角和的正弦公式化简f（x），得到函数的周期性，假设存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，则f（x+2α）=f（x），即有f（x）的最小正周期为2α，令α=π，即可判断．

解答： 解：函数f（x）=cosx+sinx
=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
则函数f（x）的最小正周期为2π，
假设存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
则f（x）=f（x-α+3α）即有f（x+2α）=f（x），
即有f（x）的最小正周期为2α，
即2π=2α，即α=π，这与α∈（0，

π

2

）矛盾，
故不存在α∈（0，

π

2

），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立．

点评：本题考查三角函数的化简和周期性，考查存在性问题的解决方法，属于中档题．