Question

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有8个不同的实根，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．

解答： 解：关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k
=0，
可化为（x²-1）²-（x²-1）+k=0，
（x≥1或x≤-1）…（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0，
（-1＜x＜1）…（2）
令f（x）=|x²-1|-（x²-1）²，
则由题意可得，函数f（x）的图象和
直线y=k有8个交点．
令t=x²-1≥0，则f（x）=|t|-t²=g（t），显然函数g（t）关于变量t是偶函数，
当t=±

1

2

时，f（x）=g（t）取得最大值为

1

4

，此时对应的x值有4个：±

6

2

、±

2

2

．
显然，当函数f（x）的图象和直线y=k有8个交点时，0＜k＜

1

4

，
故答案为：(0，

1

4

)．

点评：本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于中档题．