Question

如图，在三梭锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC
（1）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值；
（2）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？说明理由，若有，求出PE的长度．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）证明BC⊥平面PAC，DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夹角的公式求出此角即可；
（2）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE，利用向量的数量积为零建立等式关系，解之即可．

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC，
∴∠DAE即是AD与平面PAC所成角．
建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：P（0，0，1），B（0，1，0），C（

3

4

，

3

4

，0），D（0，

1

2

，

1

2

），
E（

3

8

，

3

8

，

1

2

），
∴

AD

=（0，

1

2

，

1

2

），

AE

=（

3

8

，

3

8

，

1

2

），
∴cos＜

AD

，

AE

＞=

14

4

，∴sin∠DAE=

2

4

；
（2）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE，
∵

AE

=（

3

3

a，a，1-a），

PE

=（

3

3

a，a，-a），
∴

AE

•

PE

=

1

3

a2+a2-a+a2=0，∴a=

3

7

∴E（

3

7

，

3

7

，

4

7

），
∴

PE

=（

3

7

，

3

7

，-

3

7

），∴|

PE

|=

21

7

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．