Question

11．已知F₁、F₂为双曲线的焦点，过F₂垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF₁交y轴于点C，若AC⊥BF₁，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据中位线定理，求得C点坐标，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
由AB为双曲线的通径，则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），F₁（-c，0），
由OC为△F₁F₂B中位线，
则丨OC丨=$\frac{{b}^{2}}{2a}$，则C（0，-$\frac{{b}^{2}}{2a}$），
则$\overrightarrow{AC}$=（-c，-$\frac{3{b}^{2}}{2a}$），$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=（-2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由AC⊥BF₁，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=0，
则2c²-$\frac{3{b}^{4}}{2{a}^{2}}$=0
整理得：3b⁴=4a²c²，
由b²=c²-a²，3c⁴-10a²c²+3a⁴=0，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，则3e⁴-10e²+3=0，解得：e²=3或e²=$\frac{1}{3}$，
由e＞1，则e=$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查椭圆的离心率公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．