Question

2．已知函数f（x）=|a-x|（a∈R）
（Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，求使不等式f（2x-$\frac{3}{2}$）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）设x₀∈A，证明f（x₀x）≥x₀f（x）+f（ax₀）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a的值代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；
（Ⅱ）由（I）和x₀∈A求出x₀的范围，化简f（x₀x）-x₀f（x）后利用绝对值三角不等式证明结论成立．

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，原不等式化为：|x-$\frac{3}{2}$|-|x+$\frac{1}{2}$|＞1①，-----1分
当x$≤-\frac{1}{2}$时，①式化为：$\frac{3}{2}$-x+x+$\frac{1}{2}$＞1恒成立，
即x$≤-\frac{1}{2}$；-----2分
当$-\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，①式化为：$\frac{3}{2}$-x-x-$\frac{1}{2}$＞1恒成立，
解得x＜0，即$-\frac{1}{2}$＜x＜0；------3分
当x≥$\frac{3}{2}$时，①式化为：-$\frac{3}{2}$+x-x-$\frac{1}{2}$＞1无解，-------4分
综上，原不等式的解集A=（-∞，0）；------5分
证明：（Ⅱ）因为x₀∈A，所以x₀＜0，
又f（x）=|a-x|，-------6分
所以f（x₀x）-x₀f（x）=|a-x₀x|-x₀|a-x|
=|a-x₀x|+|-x₀a+x₀x|≥|a-x₀x-x₀a+x₀x|
=|a-ax₀|=f（ax₀），-------9分
所以f（x₀x）≥x₀f（x）+f（ax₀）．-------10分

点评 本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．