Question

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知$\sqrt{3}a=2csinA$且c＜b． 
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化$\sqrt{3}a=2csinA$，即可求出sinC的值，从而求出C；
（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，
利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$\sqrt{3}a=2csinA$，
由正弦定理得，$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又c＜b，∴$C=\frac{π}{3}$； …（6分）
（Ⅱ）如图所示，
设BC=x，则AB=5-x，
在△ABC中，由余弦定理得
$（5-x{）^2}={x^2}+{4^2}-2•x•4cos\frac{π}{3}$，
求得$x=\frac{3}{2}$，即$BC=\frac{3}{2}$，
所以$AB=\frac{7}{2}$，…（8分）
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，
∴$sinA=\frac{BCsinC}{AB}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，…（10分）
∴△ACD的面积为
$S=\frac{1}{2}AC•AD•sinA$=$\frac{1}{2}×4×5×\frac{{3\sqrt{3}}}{14}=\frac{{15\sqrt{3}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．