Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=

2

，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=

6

，PM=

2

3

，设AB=x，则V_P-ABCD=

1

3

8x2-6x4

，故当x2=

2

3

时，V_P-ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O-AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．

解答： 解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，连接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB=

2

，PC=2，
∴BC=

6

，PM=

2

3

=

2 3

3

，BM=

6

3

，
设AB=x，∴OM=x∴PO=

4 3 -x2

，
∴V_P-ABCD=

1

3

×x×

6

×

4 3 -x2

=

1

3

8x2-6x4

当x2=

2

3

，即x=

6

3

，V_P-ABCD=

2 6

9

，
建立空间直角坐标系O-AMP，如图所示，
则P（0，0，

6

3

），D（-

2 6

3

，0，0），C（-

2 6

3

，

6

3

，0），M（0，

6

3

，0），B（

6

3

，

6

3

，0）
面PBC的法向量为

n

=（0，1，1），面DPC的法向量为

m

=（1，0，-2）
∴cosθ=|

n • m

| n | | m |

|=|

-2

2 • 5

|=

10

5

．

点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．