Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁、C、D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,用空间向量求平面间的夹角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A₁D₁DA，可得△QBC∽△A₁AD，即可证明Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则VQ-AA1D=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，V_Q-ABCD=

1

3

•

a+2a

2

•d•

h

2

=

1

4

ahd，利用V_棱柱=

3

2

ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；
（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E，则DE⊥平面AEA₁，DE⊥A₁E，可得∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S_△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A₁D₁DA，
∴平面A₁CD与面QBC、平面A₁D₁DA的交线平行，∴QC∥A₁D
∴△QBC∽△A₁AD，
∴

BQ

BB1

=

BQ

AA1

=

BC

AD

=

1

2

，
∴Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA₁=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V₁，V₂，
设BC=a，则AD=2a，∴VQ-AA1D=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，V_Q-ABCD=

1

3

•

a+2a

2

•d•

h

2

=

1

4

ahd，
∴V₂=

7

12

ahd，
∵V_棱柱=

3

2

ahd，
∴V₁=

11

12

ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比

11

7

；
（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E，则DE⊥平面AEA₁，∴DE⊥A₁E，
∴∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S_△ADC=2S_△ABC，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S_△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，
∴∠AEA₁=

π

4

，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．