Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=

2

，AD=2，PA=PD=

5

，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P-AD-B为60°，
（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角,空间向量及应用,立体几何

分析：（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；
（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；
（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B-DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，
∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，
∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，
又∵AB?平面PAB，EH?平面PAD，∴EH∥平面PAB．
同理可证，FH∥平面PAB．
又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，
∵EF?平面EFH，∴EF∥平面PAB；


（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．
∵BA=BD=

2

，AD=2，PA=PD=

5

，∴BE=1，PE=2．
又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=

3

．
∵△PBD中，BD²+PB²=PD²，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，
∴PB⊥平面ABD，
∵PB?平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，
∵BA=BD=

2

，AD=2，∴BD⊥BA，
∴BD，BA，BP两两垂直，
以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP，
则有A（0，

2

，0），B（0，0，0），C（

2

，-

2

，0），D（

2

，0，0），P（0，0，

3

），
∴

BC

=（

2

，-

2

，0），

BP

=（0，0，

3

），
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

n • BC =0 n • BP =0

，∴

2 x- 2 y=0 3 z=0

，令x=1，则y=1，z=0，
故

n

=（1，1，0），
∵E，F分别是棱AD，PC的中点，
∴E（

2

2

，

2

2

，0），F（

2

2

，-

2

2

，

3

2

），
∴

EF

=（0，-

2

，

3

2

），
∴cos＜ 

n

 ， 

EF

 ＞=

n • EF

| n || EF |

=

- 2

2 × 11 2

=-

2 11

11

，
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为

2 11

11

．

点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．