Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）若PA=4，求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得AC⊥PB；
（2）连结BD，与AC相交于O，连结EO，证明PB∥EO，即可证明PB∥平面AEC；
（3）取AD中点F，连接EF．证明EF⊥平面ABCD，所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA，
又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．（2分）
又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB；
（Ⅱ）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO，
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，
又E为PD中点，∴PB∥EO，
又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，
∴PB∥平面AEC；
（Ⅲ）解：取AD中点F，连接EF．
因为点E是PD的中点，所以EF∥PA．
又因为PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离．
又因为PA=4，所以EF=2．
所以点E到平面ABCD的距离为2．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查点E到平面ABCD的距离，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．