Question

已知a，b，c都是正数，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，则函数f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

时等号成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等号成立），
函数f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等号成立），利用等号同时成立可得出最小值．

解答： 解：∵a，b，c都是正数，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，
∴a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

时等号成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等号成立），
∴函数f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等号成立）
∴可判断：a=b=c=

1

3

，x=y=z=1时，三个不等式的等号同时成立，
∴f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是1，
故答案为：1

点评：本题考查了基本不等式在函数最值中的应用，属于难题．