Question

函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性并证明；
（3）若f（6）=-1，解不等式f(log2

x-2

x

)+6f(log2

3	x

)＜-

1

6

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，分别令y=x，x=y=0，y=0，即可证明，
（2）先令t=2x，先得出f（t+y）=f（t）+f（y），再利用函数的单调性性的定义即可证明，
（3）先，求得f（1）=

1

6

，再根据函数的单调性得到不等式，解得即可．

解答： 解：（1）令y=x，则f（2x+x）=2f（x）+f（x）=3f（x），
令x=y=0，得f（0）=0，
令y=0，则f（2x）=2f（x），
故f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）由f（0）=0，函数f（x）为减函数，
令t=2x，则f（2x+y）=f（t+y），2f（x）+f（y）=f（2x）+f（y）=f（t）+f（y），
∴f（t+y）=f（t）+f（y）
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）为R上的单调减函数，
（3）∵-1=f(6)=3f(2)⇒f(2)=-

1

3

，-

1

3

=f(2)=2f(1)⇒f(1)=-

1

6

．
f(log2

x-2

x

)+6f(log2

3	x

)=f(log2

x-2

x

)+2f(3log2

3	x

)=f(log2

x-2

x

)+2f(log2x)=f(2log2x+log2

x-2

x

)=f(log2x2+log2

x-2

x

)=f(log2[x(x-2)])，
∴f（log₂[x（x-2）]＜f（1）
因为f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
所以

x-2 x ＞0 3 x ＞0 log2[x(x-2)]＞1

解不等式组得x＞1+

3

．
所以不等式的解集为(1+

3

，+∞)．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．．