Question

18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinA=acosC，c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求asinA+bsinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求$tanC=\sqrt{3}$，即可得解三角形内角C的值．
（2）根据正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得asinA+bsinB=2+sin（2A-$\frac{π}{6}$），根据范围$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，利用正弦函数的图象和性质可求$sin（2A-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，进而得解asinA+bsinB的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{cosC}=\frac{c}{sinC}$，
因为：$c=\sqrt{3}$，
所以：$tanC=\sqrt{3}$，
所以：$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）根据正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
所以：a=2sinA，b=2sinB，
可得：asinA+bsinB=2sin²A+2sin²B=2-cos2A-cos2B，
因为：$A+B=\frac{2}{3}π$，
所以：$asinA+bsinB=2-cos2A-cos（\frac{4}{3}π-2A）$
=$2-\frac{1}{2}cos2A+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A=2+sin（2A-\frac{π}{6}）$，
因为：$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以：$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
所以：$sin（2A-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，
所以：$2+sin（2A-\frac{π}{6}）∈（\frac{3}{2}，3]$，
所以：$asinA+bsinB∈（\frac{3}{2}，3]$．-----------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．