Question

13．已知函数f（x）=|e^x-1|，a＞0＞b，f（a）=f（b），则b（e^a-2）的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{e}$
• B． 1
• C． 2
• D． e

Answer 1

分析 根据题意可得f（a）=e^a-1=f（b）=1-e^b，所以e^a+e^b=2，则b（e^a-2）=-be^b．构造函数，求得函数的单调性，即可求出b（e^a-2）的最大值．

解答 解：根据题意可得f（a）=e^a-1=f（b）=1-e^b，
所以e^a+e^b=2，则b（e^a-2）=-be^b．
令g（x）=-xe^x（x＜0），则g′（x）=-e^x-xe^x=-（x+1）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，
所以$g{（x）_{max}}=g（-1）=\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查b（e^a-2）的最大值，考查导数知识的运用，正确转化是关键．