Question

9．已知函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx），x∈R．
（Ⅰ）若α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且cosα=$\frac{1}{3}$，求f（$\frac{α}{2}$）的值；
（Ⅱ）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\sqrt{3}$，a=4，求△ABC的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的由于化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），从而可求f（$\frac{α}{2}$）=sinα-$\sqrt{3}$cosα，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而计算得解f（$\frac{α}{2}$）的值．
（Ⅱ）由题意可求sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A的范围可求A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{π}{2}$，利用余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式即可计算求值得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=（sinx-$\sqrt{3}$cosx）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且cosα=$\frac{1}{3}$，可得：sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）=sinα-$\sqrt{3}$cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\sqrt{3}×\frac{1}{3}$=-$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得：sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{π}{2}$，
当A=$\frac{π}{3}$时，a=4，利用余弦定理可得：16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，（当且仅当b=c时等号成立），
可得：△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
当A=$\frac{π}{2}$时，a=4，由勾股定理可得b²+c²=16≥2bc，（当且仅当b=c时等号成立），解得：bc≤8，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc≤$\frac{1}{2}×8$=4．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．