Question

7．已知边长为2的等边△ABC，其中点P，Q，G分别是边AB，BC，CA上的三点，且AP=$\frac{1}{2}$AB，BQ=$\frac{1}{3}$BC，CG=$\frac{1}{4}$CA，则$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PG}$=（　　）

• A． $\frac{5}{12}$
• B． $\frac{7}{12}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PG}$的值．

解答 解：如图所示，
等边△ABC中，AB=2，AP=$\frac{1}{2}$AB，BQ=$\frac{1}{3}$BC，CG=$\frac{1}{4}$CA，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AG}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PG}$=-$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$
=-$\frac{1}{4}$×2²+$\frac{3}{8}$×2×2×cos60°-$\frac{1}{6}$×2×2×cos120°+$\frac{1}{4}$×2×2×cos60°
=$\frac{7}{12}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题目．