Question

8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．

Answer 1

分析 （1）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可；
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小．
（3）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量夹角的余弦值为$\frac{1}{2}$，得到关于t 的等式，由此可求得P点的坐标

解答 解：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，AS=$\frac{AD•AF}{DF}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AB=$\sqrt{2}$，
∴tan∠ASB=$\sqrt{3}$，∠ASB=60°，
∴二面角A-DF-B的大小为60°；
（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{PF}$=（$\sqrt{2}$-t，$\sqrt{2}$-t，1），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}$，0，0）
又∵$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{CD}$夹角为60°，∴$\frac{|2-\sqrt{2}t|}{\sqrt{（\sqrt{2}-t）^{2}+（\sqrt{2}-t）^{2}+1}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
解之得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．

点评 本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；（1，2也可以利用空间直角坐标系）