Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N^*），记S=a₁+a₂+…+a_n+…，则S的值是

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出{a_n}是首项为2，公比为

1

3

的等比数列，由此能求出S的值．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N^*），
∴3a_n+2S_n-1=3，n≥2，
∴3a_n+1-a_n=0，
∴{a_n}是首项为2，公比为

1

3

的等比数列，
∴S_n=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

，
∵S=a₁+a₂+…+a_n+…，
∴S=

lim

n→∞

Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=

2

1- 1 3

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．