Question

已知函数f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x+2）的反函数．
（1）已知关于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围；
（2）当0＜a＜1时，讨论函数f（x）的奇偶性和单调性；
（3）当0＜a＜1，x＞0时，关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，关于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有实数解可转化为求函数m=（x-1）（7-x）在[2，6]上的值域，从而求解；
（2）先求定义域，再判断f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-f（x）；利用单调性的定义求单调性；
（3）由g（x）的表达式，由表达式讨论g（x）的取值范围，从而求关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数时m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，关于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有实数解可转化为
求函数m=（x-1）（7-x）在[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增、在[4，6]上递减，
则m的最小值5，最大值9，即m的取值范围为[5，9]．
（2）f（x）=log_a

x-1

x+1

的定义域为（-∞-1）∪（1，+∞），
定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴所以函数f（x）为奇函数．
下面讨论在（1，+∞）上函数的增减性．
任取x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=

x-1

x+1

，
则t（x₁）-t（x₂）=

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
又∵当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，
∴log_at（x₁）＞log_at（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）上函数是减函数．
又∵函数f（x）是奇函数，所以在（-∞-1）上函数也是减函数．
（3）f（x+2）的反函数是g（x）=

3ax-1

1-ax

，
∵0＜a＜1，
∴g（x）=

3ax-1

1-ax

=-3+

2

1-ax

在（0，+∞）上单调递减，
又∵x＞0，
∴g（x）∈（-1，+∞），如图1．
令|g（x）|=t，（t≥0），如图2，
则方程t²+mt+2m+3=0的解应满足：
0＜t₁＜1≤t₂或

t1=0 0＜t2＜1

，
即

2m+3＞0 1+m+2m+3≤0

或m=-

3

2

（舍），
∴m∈（-

3

2

，-

4

3

]．

点评：本题考查了函数的定义域，值域及单调性、奇偶性的判断与求法，同时考查了存在性命题的处理方法，属于难题．