题目内容
已知双曲的中心在坐标原点，实轴在x轴上，其离心率e=
，已知点(2
，0)到双曲线上的点的最短距离为2
，求双曲线的方程．
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考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：双曲线的其离心率e=
，故双曲线方程可设为x2-y2=λ2．在双曲线上任取一点（x，y）点(2
，0)到双曲线上的点的距离设为d，则d2=(x-2
)2+y2=2x2-4
x+20-λ2，d2在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8，即可求双曲线的方程．
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解答：
解：双曲线的其离心率e=
，故双曲线方程可设为x2-y2=λ2…．（2分）
在双曲线上任取一点（x，y）点(2
，0)到双曲线上的点的距离设为d
则d2=(x-2
)2+y2=2x2-4
x+20-λ2…（4分）
d2在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8…（6分）
当λ≤
时，d2min=d2x=
=10-20+20-λ2=10-λ2=8，解得λ2=2；…．（8分）
当λ＞
时，d2min=d2x=λ=2λ2-4
λ+20-λ2=λ2-4
λ+20=8，
解得λ=2
+2
或λ =2
-2
（舍）即λ2=14+8
；…（10分）
综上：双曲线的方程为x2-y2=2或x2-y2=14+8
…（12分）
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在双曲线上任取一点（x，y）点(2
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则d2=(x-2
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d2在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8…（6分）
当λ≤
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当λ＞
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解得λ=2
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综上：双曲线的方程为x2-y2=2或x2-y2=14+8
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点评：本题考查求双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
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