Question

已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，求x的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤3x．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据|a-b|+|b-c|≥|a-c|，可得

|a-b|+|b-c|

|a-c|

≥1，再根据f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，可得f（x）≤1，即|2x-1|≤1，由此求得x的范围．
（2）不等式即|2x-1|≤3x，可得

3x≥0 -3x≤2-1≤3x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵|a-b|+|b-c|≥|a-b+（b-c）|=|a-c|，故有

|a-b|+|b-c|

|a-c|

≥1，
再根据f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，可得f（x）≤1，即|2x-1|≤1，∴-1≤2x-1≤1，求得0≤x≤1．
（2）不等式f（x）≤3x，即|2x-1|≤3x，∴

3x≥0 -3x≤2-1≤3x

，求得x≥

1

5

，
即不等式的解集为{x|x≥

1

5

}．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．