Question

已知函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数，a，b，c为常数
（1）求实数c的值；
（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；
（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m-2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x），根据该恒等式可求得c，
（2）由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范围，又b∈Z可求b值，进而得a；
（3）原不等式，分离参数可化为m≤3x+

1

x

，对x∈（0，+∞）恒成立，利用基本不等式求出3x+

1

x

的最小值，问题得以解决

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）
∴

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

化简得bx+c=bx-c，
解得c=0，
（2）又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以

4a+1

2b

＜3②，
将①代入②并整理得

2b-3

2b

＜0，解得0＜b＜

3

2

，
因为b∈z，所以b=1，从而a=1，
∴f（x）=x+

1

x

                 
（3）∵f（x）=x+

1

x

，
∴x+

1

x

≥m-2x，
∴m≤3x+

1

x

，对x∈（0，+∞）恒成立
∵3x+

1

x

≥2

3

，当且仅当x=

3

3

时等号成立
即x=

3

3

时，（3x+

1

x

）_min=2

3

，
∴m≤2

3

点评：本题考查函数的奇偶性，利用基本不等式求出函数的最值，属于中档题．