题目内容
设p、q∈R+且满足log9p=log12q=log16（p+q），求
的值．
| q |
| p |
考点：对数的运算性质
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：由题意，利用换底公式可化得
=
=
；再联立方程组可得2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×
；从而化简得到p2+pq-q2=0，从而求值．
| lnp |
| 2ln3 |
| lnq |
| 2ln2+ln3 |
| ln(p+q) |
| 4ln2 |
| lnp |
| 2lnq-lnp |
解答：
解：∵log9p=log12q=log16（p+q），
∴
=
=
；
即
=
=
；
由
=
得；
ln3=
；
代入
=
得，
4lnqln2=2ln（p+q）ln2+ln（p+q）×
；
故2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×
；
2lnq=2ln（p+q）×
；
ln（p+q）=2lnq-lnp；
从而可得，p+q=
；
故p2+pq-q2=0，
故p=
q；
又∵p、q∈R+，
∴
=
．
∴
| lnp |
| ln9 |
| lnq |
| ln12 |
| ln(p+q) |
| ln16 |
即
| lnp |
| 2ln3 |
| lnq |
| 2ln2+ln3 |
| ln(p+q) |
| 4ln2 |
由
| lnp |
| 2ln3 |
| lnq |
| 2ln2+ln3 |
ln3=
| 2lnpln2 |
| (2lnq-lnp) |
代入
| lnq |
| 2ln2+ln3 |
| ln(p+q) |
| 4ln2 |
4lnqln2=2ln（p+q）ln2+ln（p+q）×
| 2lnpln2 |
| (2lnq-lnp) |
故2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×
| lnp |
| 2lnq-lnp |
2lnq=2ln（p+q）×
| lnq |
| 2lnq-lnp |
ln（p+q）=2lnq-lnp；
从而可得，p+q=
| q2 |
| p |
故p2+pq-q2=0，
故p=
-1±
| ||
| 2 |
又∵p、q∈R+，
∴
| q |
| p |
| ||
| 2 |
点评：本题考查了对数的运算，属于基础题．
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