Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|，x∈R．
（1）证明：当a=1时，不等式lnf（x）＞1成立；
（2）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：（1）由绝对值的几何意义德|x-1|+|x-4|≥3，问题即得以证明．
（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，依题意可得|a-4|≥a，解之即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-4|+|x-1|的最小值为3，
∴f（x）≥3＞e，所以
lnf（x）＞1成立；

（2）由绝对值的性质得
f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
所以f（x）最小值为|a-4|，从而|a-4|≥a，解得a≤2，因此a的最大值为2．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．