Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F、G分别是棱CC₁、BB₁、B₁C₁的中点，H是线段FG上一动点，则下列命题正确的是

 

．（写出所有正确命题的编号）．
①A₁H与D₁E所在的直线是异面直线；
②A₁H∥平面D₁AE；
③三棱锥H-ABC₁的体积为定值

1

12

；
④BC₁可能垂直于平面A₁HC；
⑤记A₁H与平面BCC₁B₁所成的角为θ，则2≤tanθ≤2

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：举反例说明①错误；利用两平面平行的性质说明②正确；由等积法求出三棱锥H-ABC₁的体积说明③正确；举特例说明④正确；找出A₁H与平面BCC₁B₁所成的角，在直角三角形中利用角的正切值等于对边除以临边求得tanθ的范围说明⑤正确．

解答： 解：当H与F重合时，A₁H∥D₁E，故①错误；
由图易知平面A₁FG∥平面D₁AE，
∴A₁H∥平面D₁AE，故②正确；
∵FG∥BC₁，AB⊥平面HBC₁，VHABC1=VAHBC1，
∴三棱锥H-ABC₁的体积为定值

1

12

，故③正确；
当H是FG的中点时，BC₁⊥平面A₁HC，故④正确；
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H在平面BCC₁B₁内的射影为B₁H．
故tanθ=

1

B1H

，
由于H点在线段FG上，则B1H∈[

2

4

，

1

2

]，
∴2≤tanθ≤2

2

．故⑤正确．
∴正确的命题是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，训练了等积法求棱锥的体积，考查了线面角的求法，是中档题．