Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（2-x）f′（x）≤0，则必有（　　）

• A、f（1）+f（3）＜2f（2）
• B、f（1）+f（3）≤2f（2）
• C、f（1）+f（3）＞2f（2）
• D、f（1）+f（3）≥2f（2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：由条件分别讨论x＞2，x＜2时，f'（x）的符号，从而判断f（x）的单调性，求出极值，最值，进而判断f（1）+f（3）与2f（2）的关系．

解答： 解：∵对于R上可导的任意函数f（x），满足（2-x）f′（x）≤0，
①当（2-x）f′（x）＜0时，
∴当x＜2时，即2-x＞0，f'（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，2）上单调递减，
当x＞2，即2-x＜0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=2处取极小值，又x∈R，则f（2）也是最小值，
∴f（1）＞f（2），且f（3）＞f（2），
两式相加得：f（1）+f（3）＞2f（2）．
②当（2-x）f′（x）=0时，即f′（x）=0，
此时有f（x）=f（2），有f（1）+f（3）=2f（2），
综合可得f（1）+f（3）≥2f（2）．
故选：D．

点评：本题主要考查运用导数研究函数的单调性，如何求极值、最值，注意开区间内极值只有一个，此时也是最值，是基础题．