Question

如图矩形ABCD，AB=4，AD=3，

AE

=

1

4

AB

，点F是线段AD上任意一点，点G是线段CD上任意一点，则∠FEG是锐角的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：建立坐标系，利用向量数量积的应用，建立条件关系，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：设FA=y，GD=x，以A为坐标原点，建立直角坐标系如图：则0≤y≤3，0≤x≤4，平面区域{（x，y）|0≤y≤3，0≤x≤4}对应的区域是长方形，
面积S=12．
则F（0，y），E（1，0），G（3，x），
则

EF

=（-1，y），

EG

=（2，x），
若∠FEG是锐角，则

EF

•

EG

=-2+xy＞0，
即xy＞2，y＞

2

x

，（0≤x≤4），
作出对应的平面区域如图：
当y=3时，由

2

x

=3，解得x=

2

3

，P（

2

3

，3），
阴影部分的面积S=

∫

4 2 3

(3-

2

x

)dx=（3x-2lnx）|

4 2 3

=10-2ln6，
∴根据几何概型的概率公式可得∠FEG为锐角的概率

10-2ln6

12

=

5-ln6

6

，
故答案为：

5-ln6

6

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用数量积的应用，结合积分求出对应区域的面积是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．