Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，f（1）=1，且对任意实数x都有f（x）-x≥0，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件，可得

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

，解方程组求出a，b，c的值，代入可求出f（x）的解析式．

解答： 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，f（1）=1，
且对任意实数x都有f（x）-x≥0，
而f（1）=1，即f（1）-1=0，方程f（x）-x=0有解x=1，
则必有（b-1）²-4ac≥0，
∴

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

即

b= 1 2 a+c= 1 2 ac≤ 1 16

，当a=c=

1

4

时，ac=

1

16

，
此时

b= 1 2 a=c= 1 4

∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数解析式的求法，其中根据已知构造方程组

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

是解答的关键．