Question

（1）设正实数x，y满足条件

1+lgx-lgy≥0 lgx+lgy-1≤0 lgy≥0

，则2lgx+lgy的最大值为

 

（2）设P，Q分别为圆x²+（y-6）²=2和椭圆

x2

10

+y²=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,对数的运算性质,椭圆的简单性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）设a=lgx，b=lgy，将不等式组进行转化，利用线性规划的知识进行求解．
（2）求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．

解答： 解：（1）设a=lgx，b=lgy，则不等式等价为

1+a-b≥0 a+b-1≤0 b≥0

，目标函数z=2a+b，
即b=-2a+z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线b=-2a+z，当直线b=-2a+z经过点A（1，0）时，直线的截距最大，此时z最大，为z=2+0=2，
即2lgx+lgy的最大值为2．
（2）设椭圆上的点为（x，y），则x²=10-10y²，
∵圆x²+（y-6）²=2的圆心为（0，6），半径为

2

，
∴椭圆上的点与圆心的距离为

x2+(y-6)2

=

10-10y2+(y-6)2

=

-9(y+ 2 3 )2+50

≤5

2

，
∴P，Q两点间的最大距离是5

2

+

2

=6

2

．
故答案为：（1）2；   （2）6

2

；

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．