Question

已知a∈R，f（x）=x²+3x-a²-3a
（1）当a=4时，求不等式f（x）＞0；
（2）设A=[-8，-4]，不等式f（x）＞0的解集为B，如果A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=4代入后，构造关于x的二次不等式，解不等式可得答案；
（2）不等式f（x）＞0的解集为B=（-∞，-a-3）∪（a，+∞），或B=（-∞，a∪（-a-3，+∞），根据A⊆B，构造关于a的不等式，解不等式可得答案．

解答： 解：（1）当a=4时，f（x）=x²+3x-28，
则不等式f（x）＞0可化为x²+3x-28＞0，
即（x+7）（x-4）＞0，
解得x＜-7，或x＞4，
故不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-7）∪（4，+∞）；
（2）∵f（x）=x²+3x-a²-3a=（x+a+3）（x-a）
当-a-3≤a，即a≥-

3

2

时，不等式f（x）＞0的解集为B=（-∞，-a-3）∪（a，+∞），
若A⊆B，则-4＜-a-3或-8＞a，
∴-

3

2

≤a＜1
当-a-3＞a，即a＜-

3

2

时，不等式f（x）＞0的解集为B=（-∞，a∪（-a-3，+∞），
若A⊆B，则-4＜a或-8＞-a-3，
∴-4＜a＜-

3

2

综上实数a的取值范围-4＜a＜1

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，是函数与不等式的综合应用，难度中档．