Question

甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．
（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；
（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件与对立事件

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据分层抽样的定义即可求出求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数，根据古典概率的概率公式即可求出相应的概率公式；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，则P（X=i）=

C i 2 C 3-i 4

C 3 6

（i=0，1，2），可得X的分布列，即可求出X的期望．

解答： 解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．
设从抽取的6个零件为a₁，b₁，b₂，c₁，c₂，c₃．
事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为（b₁，b₂），（b₁，c₁），（b₁，c₂），（b₁，c₃），（b₂，c₁），（b₂，c₂），（b₂，c₃），（c₁，c₂），（c₁，c₃），（c₂，c₃），共10种可能；
事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为（b₁，b₂），（b₁，c₁），（b₁，c₂），（b₁，c₃），（b₂，c₁），（b₂，c₂），（b₂，c₃），共7种可能．
故所求概率为P=0.7；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，则P（X=i）=

C i 2 C 3-i 4

C 3 6

（i=0，1，2）
X的分布列为

X	0	1	2
P	0.2	0.6	0.2

X的期望为E（X）=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和数学期望，考查分层抽样的定义和应用，以及古典概率的概率公式的计算，要求熟练掌握概率的概率公式．