Question

15．设a，b∈R且a＜b，若a³e^b=b³e^a，则下列结论中一定正确的个数是（　　）
①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$，可得f′（x）=$\frac{（3-x）{x}^{2}}{{e}^{x}}$，利用导数研究函数的单调性极值与最值、图象及其性质即可得出．

解答 解：令f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$，则f′（x）=$\frac{（3-x）{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
可知：x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x＞3时，f′（x）≥0，
函数f（x）单调递增．
x=3时，函数f（x）取得极大值即最大值．
∵f（a）=f（b），a＜b．
∴0＜a＜3＜b，a+b＞6；ab＜9；a+2b＞9．
因此正确的答案为4个．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、图象及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．