Question

6．已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x₀是函数f（x）的一条对称轴，且tanx₀=3，则点（a，b）所在的直线为（　　）

• A． x-3y=0
• B． x+3y=0
• C． 3x-y=0
• D． 3x+y=0

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．

解答 解：f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$（$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$sinx+$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$cosx），
令sinα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，则cosα=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，即tanα=$\frac{a}{b}$，
则f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$cos（x-α），
由x-α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，
即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，
∵x=x₀是函数f（x）的一条对称轴，
∴x₀=α+kπ，则tanx₀=tanα=$\frac{a}{b}$=3，即a=3b，
即a-3b=0，
则点（a，b）所在的直线为x-3y=0，
故选：A

点评 本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．