题目内容
5．
2016年7月23日至24日，本年度第三次二十国集团（G20）财长和央行行长会议在四川省省会成都举行，业内调查机构i Research （艾瑞咨询）在成都市对[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次“消费”生活习惯是否符合理财观念的调查，若消费习惯符合理财观念的称为“经纪人”，否则则称为“非经纪人”．则如表统计表和各年龄段人数频率分布直方图| 组数 | 分组 | 经纪人的人数 | 占本组 的频率 |
| 第一组 | [25，30） | 120 | 0.6 |
| 第二组 | [30，35） | 195 | P |
| 第三组 | [35，40） | 100 | 0.5 |
| 第四组 | [40，45） | a | 0.4 |
| 第五组 | [45，50） | 30 | 0.3 |
| 第六组 | [50，55] | 15 | 0.3 |
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计众数、中位数和平均数（结果保留三位有效数字）；
（Ⅲ）从年龄在[40，55]的三组“经纪人”中采用分层抽样法抽取7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，则有多少种不同的站法？请用数字作答．
分析 （Ⅰ）根据频率分布表，结合频率分布直方图，即可求出n、p和a的值；再补全频率分布直方图即可；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，求出众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）求出年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量以及采用分层抽样法抽取7的人数，利用排列组合法求出不同的站法即可．
解答 解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为$\frac{120}{0.6}$=200，
频率为0.04×5=0.2，所以样本容量为n=$\frac{200}{0.2}$=1000；
由题可知，第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p=$\frac{195}{300}$=0.65；
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60；
补全频率分布直方图如下；
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，
众数为最高小矩形的底边中点坐标，是$\frac{30+35}{2}$=32.5；
又0.2+0.3=0.5，
所以中位数为35；
平均数为$\overline{x}$=27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.5；
（Ⅲ）年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量是60、30和15，
现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；
这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，
共有${A}_{4}^{4}$•${A}_{2}^{2}$•${A}_{3}^{3}$=288种不同站法．
点评 本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，也考查了众数、中位数和平均数以及排列组合的应用问题，是综合性题目．
| A． | 8-$\frac{π}{2}$ | B． | 8-$\frac{π}{3}$ | C． | 8-$\frac{2π}{3}$ | D． | 8-$\frac{7π}{6}$ |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
| 气温（oC） | 18 | 13 | 10 | -1 |
| 用电量（度） | 25 | 35 | 42 | 58 |
（1）求$\hat a$的值；
（2）当气温为5oC时，预测用电量约为多少？（精确到1）